Fra le materie scolastiche è quella più spesso odiata e temuta: dai disegni delle sfere dell’abaco ai logaritmi, sappiamo che la matematica spesso è davvero in grado di spaventare bambini e ragazzi di ogni età.
Oggi, però, nel particolare troveremo il modo per insegnare o ripassare insieme ai bambini le frazioni equivalenti.
Nonostante lo stop dalle scuole di questi mesi, infatti, i bambini non devono assolutamente pensare di lasciare in letargo il proprio cervello: oltre agli esercizi per la stagione estiva che sicuramente arriveranno nei prossimi giorni grazie alle indicazioni di maestre e maestri, anche a casa è possibile rinfrescare la memoria e imparare a poco a poco qualche nuovo concetto, magari divertendosi, con i propri genitori, soprattutto con quelli che sono ancora a casa da lavoro.
Oggi per questa ragione vi proporremo alcuni esercizi sulle frazioni equivalenti per far “allenare” i vostri bambini della scuola elementare, ma anche esempi per stimolare la memoria e l’apprendimento tramite emulazione e, per fissare i concetti nella loro mente imparando la teoria relativa a quanto hanno svolto, infine troveremo la loro corretta definizione.
Esercizi sulle frazioni equivalenti: quali proporre ai bambini della scuola elementare
I tipi di esercizi che possono essere assegnati per rintracciare le frazioni equivalenti sono davvero numerosi e variegati.
Per i bambini che frequentano la scuola elementare, però, è risaputo che gli esercizi migliori sono quelli divertenti e fantasiosi, dalle fattezze concrete nei quali è possibile immedesimarsi senza troppa difficoltà.
Per questa ragione la categoria di esercizi che andremo a proporvi riguarda i problemi matematici: brevi storielle che aiutano a stimolare il ragionamento dei bambini i quali, immaginando concretamente la vicenda proposta, riusciranno facilmente il problema.
Esercizio uno: la gara di Formula Uno.
Due piloti di Formula Uno stanno gareggiando in pista e sono ormai arrivati all’ultimo giro.
La macchina rossa ha percorso 3 / 4 della pista, mentre la macchina blu ne ha completato i 6 / 8: quale fra le due macchine in gara è in vantaggio?
Risposta: nessuna, sono entrambi allo stesso punto poiché 3 / 4 e 6 / 8 sono due frazioni equivalenti.
Esercizio due: la torta.
È il compleanno di Ginevra e per la sua festa la nonna ha preparato dei dolci buonissimi.
Fra questi è presente una crostata al cioccolato che è stata presa d’assalto da Ginevra e i suoi amici. In particolare Ginevra ne ha mangiati 2 / 4, la sua amica Tania 8 / 12 e il suo amico Marco 4 / 8.
Due dei bambini ne hanno mangiato la stessa quantità, uno di loro no: chi fra loro?
Trova le frazioni equivalenti e spiega perché l’altra frazione non può essere considerata tale.
Esercizio tre: i compiti per le vacanze.
È quasi settembre e Mirella e Giuditta stanno parlando dei loro compiti delle vacanze.
Mirella ha completato ben 16 / 36 dei compiti di italiano, 16 / 36 di matematica e 16 / 36 di inglese. Giuditta, invece, ha completato 8 / 18 dei compiti di italiano, 4 / 6 di quelli di matematica e, infine, 4 / 9 di inglese.
Esistono delle materie in cui Mirella e Giuditta hanno completato la stessa qualità di compiti?
Quali sono?
Esercizio quattro:
Analizzare le seguenti frazioni con i due metodi che vedrete in seguito, seguendo le operazioni matematiche, sia con la modalità di moltiplicazione incrociata che con quella di moltiplicazione del numeratore e del denominatore della prima frazione per un medesimo fattore e poi scrivere se il rapporto fra le due frazioni sia equivalente o meno.
11 / 22 e 1 / 2;
3 / 6 e 1 / 2;
3 / 9 e 1 / 2;
1 / 4 e 2 / 8;
6 / 24 e 1 / 4;
3 / 4 e 12 / 16;
42 / 18 e 7 / 3;
48 / 126 e 8 / 22.
Gli esempi di frazioni equivalenti
I primi esempi di frazioni equivalenti che vi proporremo sono davvero molto basici e verranno sviluppati con i metodi che analizzeremo nel prossimo paragrafo, dedicato alla spiegazione teorica e alla definizione di “frazione equivalente”.
La prima coppia di frazioni che andremo ad analizzare è quella di 2 / 4 e 4 / 8.
Eseguiamo la moltiplicazione fra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda e poi svolgiamo di nuovo la moltiplicazione, stavolta fra il denominatore della prima e il numeratore della seconda.
Calcoliamo, dunque, 2 x 8 che equivale a 16 e 4 x 4 che equivale a 16: i prodotti sono uguali e dunque le frazioni in esame, 2 / 4 e 4 / 8 sono equivalenti.
Se volessimo effettuare una prova ulteriore per attestare che le due frazioni siano equivalenti dovremmo moltiplicare per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore della prima fino ad arrivare alla seconda frazione equivalente che abbiamo preso in considerazione.
Per farlo dobbiamo moltiplicare sia il numeratore che il denominatore della prima, cioè rispettivamente il 2 e il 4, per 2 al fine di raggiungere i termini della seconda.
Dalla moltiplicazione di 2 x 2, infatti, emergerà come prodotto il 4, cioè il numeratore della seconda, e da quella di 4 x 2, invece, avremo come prodotto l’8, cioè il denominatore della seconda. In questa maniera abbiamo confermato, nuovamente, il rapporto che lega entrambe le frazioni che è un rapporto di equivalenza.
Volendo ricercare il medesimo fine, cioè conoscere se due frazioni sono equivalenti o meno, si potrà anche utilizzare la divisione, operazione inversa alla moltiplicazione.
Stavolta, ovviamente, la frazione su cui svolgere le operazioni e i calcoli dovrà essere 4 / 8: la modalità di esecuzione, però, non sarà più quella di moltiplicazione (in questo caso divisione) incrociata, ma lo studente dovrà necessariamente trovare un dividendo per cui il numeratore e il denominatore della seconda frazione avranno come risultato il numeratore e il denominatore della prima.
È ormai lampante come, in questo caso, il dividendo sarà nuovamente 2.
Se, infatti, dividiamo il 4, numeratore della seconda frazione, per 2 il risultato che otterremo sarà di nuovo 2 e, allo stesso modo, dividendo l’8, che ne è il denominatore, per 2 il risultato ottenuto sarà 4.
Anche per questa ragione le frazioni 2 / 4 e 4 / 8 sono equivalenti.
Tendenzialmente, però, quella della divisione è una operazione che viene utilizzata soprattutto quando i termini della frazione sono composti da cifre elevate. Tendenzialmente, invece, per i numeri più bassi, che caratteristicamente vengono utilizzati per lo svolgimento degli esercizi alle scuole elementari, si è soliti svolgere moltiplicazioni: per questa ragione quello che abbiamo appena visto sarà l’unico esempio di divisione nell’articolo.
Definizione di Frazioni equivalenti: ecco come riconoscerle
Si dicono equivalenti le frazioni in cui dalla prima si può arrivare alla seconda attraverso una moltiplicazione o una divisione del numeratore e del denominatore per uno stesso numero.
Moltiplicando il numeratore di una frazione per un numero e effettuando la stessa operazione sul denominatore con lo stesso numero preso in precedenza, la frazione che sarà composta con il primo prodotto al numeratore e con il secondo prodotto ottenuto al denominatore allora sarà equivalente alla prima.
Prendendo in considerazione 2 / 4 e 4 / 8 basterà moltiplicare il numeratore e il denominatore della prima, entrambi per 2.
Ne consegue che la moltiplicazione di 2 x 2 darà come risultato 4; allo stesso modo 4 x 2 avrà come prodotto 8: il risultato sarà esattamente 4/8 e pertanto potremo considerare le due frazioni equivalenti.
Nel caso in cui volessimo analizzare, invece, 2 / 4 e 4 / 12 scopriremo che le frazioni non potranno essere considerate equivalenti poiché per arrivare al numeratore della seconda, il numeratore della prima dovrà essere moltiplicato per due, mentre per arrivare al denominatore della seconda la moltiplicazione dovrà essere effettuata avendo come prodotto il 3. I prodotti, pertanto, saranno diversi per numeratore e denominatore e, di conseguenza, le frazioni non potranno essere considerate equivalenti.
Esiste, però, una seconda definizione per riconoscere le frazioni equivalenti.
Se il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda è il medesimo che si ottiene moltiplicando il numeratore della seconda con il denominatore della prima, allora le due frazioni prese in esame sono dette equivalenti.
Se a seguito di queste moltiplicazioni i prodotti ottenuti sono diversi fra loro, allora le frazioni non sono equivalenti.
È il caso di 1 / 2 e 2 / 4: moltiplicando 1 x 4 e 2 x 2, infatti, il risultato che seguirà sarà in entrambi i casi 4.
Seguendo queste definizioni potremmo non soltanto risolvere gli esercizi, problemi matematici e non solo, presenti nel primo paragrafo, ma anche seguire in maniera pedissequa e con maggiore chiarezza quanto analizzato nel secondo.
Seguendo questi passi, sarà facilmente intuibile capire se due frazioni siano fra loro equivalenti o meno.
Analizzando le frazioni 3/5 e 2/3, basterà seguire queste regole per capire immediatamente, visto che la moltiplicazione incrociata non avrà come risultato due prodotti uguali fra loro, che le due frazioni non sono fra loro equivalenti.
Anche seguendo l’altra definizione, la prima che vi abbiamo offerto, salterà immediatamente all’occhio che non esiste un numero per cui, moltiplicando il numeratore o il denominatore della prima frazione, si potranno ottenere il numeratore e il denominatore della seconda.
