Sono tanti gli alunni che si ritrovano alle prese con la matematica e in particolare con la risoluzione delle famose equazioni di secondo grado. Niente panico quindi cercheremo di darvi alcune dritte indicandovi la formula risolutiva e ridotte per le equazioni fratte, spurie e pure. Vi indicheremo inoltre alcuni esercizi per allenarvi e per essere preparati.
Definizione di equazioni di secondo grado
La matematica, come noto, è una disciplina rigorosa e sistematica che richiede un metodo di studio attento. Vediamo la definizione di equazione di secondo grado. Per definire un’equazione di secondo grado basta fare un esempio. 3×2−7x+3=03×2−7x+3=0 oppure −x2=0−x2=0 o 2×2+3=02×2+3=0 sono esempi di equazioni di secondo grado. Le equazioni di secondo grado complete presentano quindi questa forma: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0.
Ciò che distingue un’equazione di secondo grado da quella di primo grado è il valore di aa che non può essere uguale a zero. Aa, bb e cc si chiamo coefficienti. Inoltre cc è detto anche termine noto.
Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
Vediamo qual è la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado fratte, spurie e pure. Si definisce radice o soluzione dell’equazione di secondo grado un valore che sostituito all’incognita xx rende vera l’uguaglianza.
Ad esempio se consideriamo la seguente equazione 7×2−3x−4=07×2−3x−4=0, sostituendo a xx il valore 1 abbiamo 7 · 12 – 3 · 1 – 4 = 07 ·12 – 3 ·1 -4 = 0. Se svolgiamo i calcoli al primo membro abbiamo 0 = 00 = 0 un’uguaglianza vera. La soluzione all’equazione è quindi x =1x=1.
Per la risoluzione di un’equazione di 2° grado occorre applicare la cosiddetta formula risolutiva:
x1,2=−b±b2−4ac−−−−−−−√2ax1,2=−b±b2−4ac2a. Il simbolo ±± vuol dire che la soluzione x1x1 si ottiene inserendo il segno ++ prima del simbolo di radice, mentre la soluzione x2x2 si ottiene inserendo il segno −− prima del segno di radice.
Applicando la formula risolutiva all’esempio che abbiamo fatto prima abbiamo i seguenti valori: a=7a=7, b=−3b=−3 e c=−4c=−4 e poi x1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅7⋅(−4)−−−−−−−−−−−−−−−√2⋅7=3±1114×1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅7⋅(−4)2⋅7=3±1114
Quindi x1=3+1114=1×1=3+1114=1 e x2=3−1114=−814=−47×2=3−1114=−814=−47.
Oltre a questa soluzione ve ne è anche un’altra ovvero x2=−47×2=−47, operando una sostituzione del valore nell’equazione iniziale.
Se osserviamo la formula risolutiva possiamo inoltre renderci conto che vi è una quantità sotto radice, e non è detto che tale quantità sia positiva. Le soluzioni delle equazioni di secondo grado esistono pertanto solo se questa quantità è maggiore o uguale a zero. Data quindi un’equazione di secondo grado del tipo ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, la quantità Δ=b2−4acΔ=b2−4ac si definisce discriminante dell’equazione.
A questo proposito si possono distinguere 3 casi:
- se Δ>0Δ>0, l’equazione ha due radici reali x1,2=−b±Δ√2ax1,2=−b±Δ2a;
- se Δ=0Δ=0, le due soluzioni coincidono: x1=x2=−b2ax1=x2=−b2a;
- se Δ<0Δ<0, l’equazione non ha radici reali.
Facendo riferimento all’equazione antecedente, ovvero 7×2−3x−4=07×2−3x−4=0 , Δ=(−3)2−4⋅7⋅(−4)=121>0Δ=(−3)2−4⋅7⋅(−4)=121>0: si ha di nuovo la conferma che l’equazione ha due soluzioni distinte.
Formula ridotta delle equazioni di secondo grado pure e spurie
Poiché i calcoli della formula risolutiva sono complessi è preferibile utilizzare la formula ridotta per risolvere le equazioni di secondo grado. Questa formula è semplice da applicare quando il coefficiente bb è x1,2=−b2±(b2)2−ac−−−−−−−−√ax1,2=−b2±(b2)2−aca.
Vi sono delle equazioni di secondo grado che possono essere risolte senza utilizzare la formula risolutiva. Stiamo parlando precisamente delle equazioni pure e spurie. Le equazioni di secondo grado pure si presentano così: ax2+c=0ax2+c=0 e hanno due soluzioni ovvero x1,2=±−ca−−−√x1,2=±−ca se −ca>0−ca>0 oppure nessuna soluzione quando −ca<0−ca<0.
Le equazioni spurie sono invece secondo questa tipologia ax2+bx=0ax2+bx=0. Le soluzioni sono
x=0x=0 oppure x=−bax=−ba.
Risoluzione delle equazioni di secondo grado fratte
Un caso più complicato è costituito dalle equazioni di secondo grado fratte, ovvero quelle equazioni in cui l’incognita x compare al denominatore.
N (x)
D (x) Uguale 0
Si daranno pertanto i seguenti valori D (x) diverso da 0 perché non si può dividere per 0; si risolve N (x) = 0
Facciamo un esempio di equazione di secondo grado fratta.
Nel passaggio successivo si studiano in maniera separata numeratore e denominatore per capire dove si annulla l’equazione. Cominciamo dal numeratore:
Facendo un calcolo si ha quindi:
Appena si passa ad analizzare il denominatore si capisce subito che vi sono punti in cui l’equazione non esiste.
denominatore:
Appena si eliminano dalle soluzioni del numeratore quelle del denominatore si ottengono le soluzioni dell’equazione fratta:
Per esercitarsi a svolgere le equazioni di secondo grado si possono trovare diversi esercizi svolti navigando su Internet. Buon allenamento!
