Di seguito, passo dopo passo, vi diremo come scomporre i polinomi di secondo e terzo grado la cui risoluzione ci garantirà una vittoria inestimabile: un bel voto in matematica a giugno.
Grado di un polinomio: come individuarlo prima della scomposizione
La scomposizione di un polinomio è la decodificazione di un determinato polinomio: arrivare dunque a riscriverlo come prodotto di fattori che siano irriducibili. Il risultato quindi deve necessariamente essere riscritto come prodotto di polinomi non ulteriormente scomponibili.
Di seguito analizzeremo esempi di esercizi con polinomi di secondo e terzo grado. Il grado complessivo di un polinomio è equivalente al grado più alto fra i monomi che lo compongono e per trovarlo occorre prendere in esame a loro volta le singole “lettere” espresse nel monomio. Attenzione: occorre ricordarci che un coefficiente elevato alla seconda, 2x² ad esempio, è di secondo grado, allo stesso modo, nonostante la mancanza di esponenti espressi esplicitamente, anche –2xy rientra in quelli di secondo grado per le leggi imposte dalle potenze.
Il grado complessivo di ogni monomio sarà dato dalla somma degli esponenti delle sue lettere.
Scomposizione di polinomi di secondo grado
Niente panico: per scomporre un polinomio di secondo grado possiamo avvalerci di diversi metodi: dal raccoglimento totale o parziale,con l’utilizzo dei prodotti notevoli e i trinomi di secondo grado.
Cerchiamo di applicare le regole dettate dal raccoglimento totale prendendo in analisi il seguente polinomio: 2x²+ 4x.
2x²+ 4x
= 2x · x + 2x · 2 primo passaggio
= 2 x ( x +2) secondo passaggio
Guardando il polinomio la prima caratteristica che ci salta alla mente è senza dubbio la compresenza, in entrambi i monomi, del fattore 2x: possiamo ben presto arrivare al secondo passaggio raccogliendo il 2x che moltiplica gli altri due fattori che racchiuderemo fra due parentesi tonde. Trattando l’argomento più in generale, caratteristica che a molti non sarà sicuramente sfuggita è il fatto che il fattore raccolto sia il massimo comun divisore fra i polinomi: con il raccoglimento totale il fattore che emerge è sempre il massimo comun divisore.
Se quando ci accingiamo ad utilizzare il raccoglimento totale il primo passo da compiere è la ricerca di un massimo comune divisore, quando non è presente un divisore diverso da 1 possiamo comunque semplificare un polinomio effettuando un raccoglimento?
Naturalmente sì, ma tale processo risulterà meno immediato di quello analizzato in precedenza: sarà possibile, infatti, effettuare il raccoglimento solo dopo aver svolto un numero adeguato di passaggi tale che sia possibile individuare una componente uguale in comune da poter trasformare nel dato raccolto, che sia esso raggruppato fra parentesi o un unico monomio.
Quando neanche il raccoglimento parziale ci porta alla risoluzione del nostro esercizio e quindi alla scrittura del prodotto in fattori irriducibili, ci vengono incontro i tanto agognati prodotti notevoli. Che siano visibili fin dal primo passaggio o saltino alla luce dopo aver già effettuato semplificazioni e raccoglimenti, possono rivelarsi il nostro punto di forza durante compiti a casa e verifiche in classe: sono gli assi nella manica per continuare a semplificare laddove sembra non ci sia più niente da fare. Oltre a imparare a memoria le formule dei prodotti notevoli, è davvero vantaggioso allenare la nostra mente a riconoscere in quali occasioni giocare sicuramente questa carta vincente osservando accuratamente le operazioni davanti alle quali ci troviamo e gli esponenti dei fattori presi in analisi.
Per risolvere, nello specifico, polinomi di secondo grado, i prodotti notevoli da prendere in considerazione sono:
- la differenza di quadrati: ( a-b) (a+b) = a- b²
- il quadrato di binomio con somma: ( a +b)² = a²+ 2ab+ b²
- il quadrato di binomio con differenze ( a –b)²= a²- 2ab+ b²
- il quadrato di trinomio con somma ( a+b+c)²= a²+ b²+ c²+ 2ab +2ac +2bc
- il quadrato di trinomio con differenza ( a-b+c)²= a²+ b²+ c²- 2ab +2ac -2bc
Scomposizione di polinomi di terzo grado: prodotti notevoli e metodo di Ruffini
Oltre ai prodotti notevoli che abbiamo appena visto, ne esistono altri con polinomi di terzo grado:
- cubo di binomio con somma ( a+b)³= a³+ 3a²b+ 3ab²+b³
- cubo di binomio con differenza ( a-b)³= a³- 3a²b+ 3ab²-b³
- somma di due cubi a³+b³= ( a +b) (a²- ab+ b²)
- differenza di due cubi a³-b³= ( a -b) (a²+ab+ b²)
Oltre ai metodi standard di scomposizione, quando si è in presenza di un polinomio di grado piuttosto elevato, in genere dal terzo grado in su, è utile risolverlo con la regola di Ruffini, coniata dall’omonimo matematico.
La scomposizione di polinomi online, gratis al 100%
Per gli studenti, è risaputo, internet e la rete rappresentano la maggior fonte di distrazione quando si è a scuola o si studia. Non sempre, invece, si asserisce la loro immensa utilità come “controprova” di un esercizio svolto o come aiuto durante lo studio. Numerosi siti si occupano di rispiegare, come se stessero dando vere e proprie ripetizioni personali, esporre delucidazioni su nozioni ascoltate in classe e non del tutto chiare. Fra i più famosi fa la sua comparsa Lezioni di Matematica, dal design chiaro e basico e dal richiamo un po’ vintage dei primi sistemi Windows, che contiene alla destra della schermata, suddivisi per categoria, tutti gli argomenti affrontati nel sito. Nel caso specifico preso in analisi, la scomposizione di polinomi viene trattata in ben sei pagine in cui vengono spiegati nel particolari i metodi di risoluzione possibili.
Assolutamente non trascurabile è YouMath che oltre a fornire ulteriori spiegazioni, da quelle più generiche alle specifiche, ha un calcolatore automatico che permette di semplificare i polinomi: attenzione, però, se si vuole davvero imparare è necessario consultarlo solo dopo aver provato a svolgere tutti gli esercizi! Il sito, nella sezione polinomi che a sua volta si trova in quella “algebra”, mette a disposizione degli studenti un cospicuo numero di esercizi per potersi “allenare” in vista dei compiti futuri.
